TRIGONOMETRÍA

Es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Etimológicamente significa 'medida de triángulos'.

El estudio de la Trigonometría lo inició Hiparco 150 años a. C. pero su historia se remonta a losegipcios y babilonios, primeros en medir ángulos.

Hiparco es considerado el padre de la Trigonometría por sus contribuciones tales como determinar la duración del año solar en 365 días y 6 horas, sentar las bases de la trigonometría, realizar el primer catálogo de estrellas (800) e inventar el primer astrolabio.

Tolomeo prosiguió los estudiosde Hiparco. Ordenó los conocimientos de los griegos sobre astronomía, afirma que la tierra es redonda, y entre otras cosas realizó cálculos astronómicos sin utilizar las funciones trigonométricas.

A principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje. A mediados de éste siglo Isaac Newton, utilizando series infinitas, encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x.

Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler encontró la relación entre las propiedades trigonométricas y los números complejos.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

FUNCIÓN SENO

f(x) = sen x

Características de la función seno

Dominio:

Recorrido: [-1, 1]

Período:

Continuidad: Continua en

Impar: sen(-x) = -sen x

Cortes con el eje OX:

Creciente en:

Decreciente en:

Máximos:

Mínimos:

Impar: sen(-x) = -sen x

Cortes con el eje OX:

FUNCIÓN COSENO

f(x) = cos x

Características de la función coseno

Dominio:

Recorrido: [-1, 1]

Período:

Continuidad: Continua en

Par: cos(-x) = cos x

Cortes con el eje OX:

Creciente en:

Decreciente en:

Máximos:

Mínimos:

FUNCIÓN TANGENTE

f(x) = tg x

Características de la función tangente

Dominio:

Recorrido:

Continuidad: Continua en

Período:

Cortes con el eje OX:

Impar: tg(-x) = tg x

Creciente en:

Máximos: No tiene.

Mínimos: No tiene.

FUNCIÓN COTANGENTE

f(x) = cotg x

Características de la función cotangente
Dominio:

Recorrido:

Continuidad: Continua en

Período:

Cortes con el eje OX:

Impar: cotg(-x) = cotg x
Decreciente en:

Máximos: No tiene.
Mínimos: No tiene.

FUNCIÓN SECANTE

f(x) = sec x

Características de la función secante

Dominio:

Recorrido: (- ∞, -1]

[1, ∞)

Período:

Continuidad: Continua en

Par: sec(-x) = sec x

Cortes con el eje OX: No corta

Creciente en:

Decreciente en:

Máximos:

Mínimos:

FUNCIÓN COSECANTE

f(x) = cosec x

Características de la función cosecante

Dominio:

Recorrido: (- ∞, -1]

[1, ∞)

Período:

Continuidad: Continua en

Impar: cosec(-x) = -cosec x

Cortes con el eje OX: No corta
Creciente en:

Decreciente en:

Máximos:

Mínimos:

PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Obtener la longitud de una escalera recargada en una pared de 4.33 m de altura que forma un ángulo de 60° con respecto al piso.

Procedimiento:

a) Trazar el triángulo rectángulo anotando los datos e indicando, con una letra, el lado que se desea calcular.

b) Seleccionar una razón trigonométrica que relacione al ángulo y lado conocidos con el lado que se desea calcular.

c) Despejar algebraicamente la letra que representa el lado que se desea calcular.

d) Sustituir las literales por sus valores numéricos de acuerdo con los datos.

e) Obtener el valor natural del ángulo por medio de las tablas trigonométricas o de la calculadora y efectuar las operaciones.

c = 5 m

f) Dar solución al problema.

c = longitud de la escalera

Por lo tanto, la escalera mide 5 m.

2. Obtención del valor de un ángulo agudo, conocidos dos lados del triángulo

Obtener el ángulo que forma un poste de 7.5 m de alto con un cable tirante que va, desde la punta del primero hasta el piso, y que tiene un largo de 13.75 m

Ahora se tienen únicamente los valores de dos lados, con los cuales se debe obtener el valor del ángulo.

Procedimiento:

a)Trazar un triángulo rectángulo anotando los datos.

b) Seleccionar la función trigonométrica que relacione a los lados conocidos con el ángulo.

c) Sustituir las literales por sus valores numéricos.

d) Efectuar la división indicada.

cos = 0.5454

e) Obtener, en las tablas de funciones trigonométricas o con la calculadora, el valor del ángulo.

f) Dar respuesta al problema.

El ángulo formado por el poste y el cable tirante es de 56°57'

En la figura de abajo se presentan algunas gráficas de funciones trigonométricas.

Al establecer relaciones entre dos conjuntos mediante las funciones trigonométricas se establecen relaciones como y=sen(x), y=cos(x), y=tan(x), y=cot(x), y=csc(x) o y=sec(x). La expresión en el paréntesis se denomina argumento de la función (dominio) mientras que yrepresenta el alcance (imágenes).

Las gráficas de estas funciones se extienden sobre los ejes coordenados, si es sobre el eje de x, tienen la característica de repetirse por intervalos. Esto significa que cada cierta cantidad de radianes, una parte de la gráfica de la función es la misma (periodo). La extensión sobre el eje de y se conoce como alcance. Veamos cada función particular en detalle.

El modelo de las gráficas de las funciones trigonométricas se obtiene evaluando la función para ángulos que forman una revolución completa.

IDENTIDAD TRIGONOMÉTRICA

Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas).

Funciones trigonométricas en función de las otras cinco.
En términos de	$\sin\!$	$\cos\!$	$\tan\!$	$\cot\!$	$\sec\!$	$\csc\!$
$\sin \theta$	$\sin \theta\$	$\sqrt{1 - \cos^2\theta}$	$\frac{\tan\theta}{\sqrt{1 + \tan^2\theta}}$	$\frac{1}{\sqrt{1+\cot^2\theta}}$	$\frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}$	$\frac{1}{\csc \theta}$
$\cos \theta$	$\sqrt{1 - \sin^2\theta}$	$\cos \theta\$	$\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}$	$\frac{\cot \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}$	$\frac{1}{\sec \theta}$	$\frac{\sqrt{\csc^2\theta - 1}}{\csc \theta}$
$\tan \theta$	$\frac{\sin\theta}{\sqrt{1 - \sin^2\theta}}$	$\frac{\sqrt{1 - \cos^2\theta}}{\cos \theta}$	$\tan \theta\$	$\frac{1}{\cot \theta}$	$\sqrt{\sec^2\theta - 1}$	$\frac{1}{\sqrt{\csc^2\theta - 1}}$
$\cot \theta$	${\sqrt{1 - \sin^2\theta} \over \sin \theta}$	${\cos \theta \over \sqrt{1 - \cos^2\theta}}$	$\frac{1}{\tan \theta}$	$\cot\theta\$	${1 \over \sqrt{\sec^2\theta - 1}}$	$\sqrt{\csc^2\theta - 1}$
$\sec \theta$	${1 \over \sqrt{1 - \sin^2\theta}}$	${1 \over \cos \theta}$	$\sqrt{1 + \tan^2\theta}$	${\sqrt{1 + \cot^2\theta} \over \cot \theta}$	$\sec\theta\$	${\csc\theta \over \sqrt{\csc^2\theta - 1}}$
$\csc \theta$	${1 \over \sin \theta}$	${1 \over \sqrt{1 - \cos^2 \theta}}$	${\sqrt{1 + \tan^2\theta} \over \tan \theta}$	$\sqrt{1 + \cot^2 \theta}$	${\sec \theta \over \sqrt{\sec^2\theta - 1}}$	$\csc \theta\$

Relación seno coseno

cos² α + sen² α = 1

Relación secante tangente

sec² α = 1 + tg² α

Relación cosecante cotangente

cosec² α = 1 + cotg² α

PROBLEMAS

Calcular el radio del círculo circunscrito en un triángulo, donde A = 45°, B = 72° y a=20m.

El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el ángulo que formarán las tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de longitud 36 m.

Comprobar las identidades:

Para resolver triángulos oblicuángulos vamos a utilizar los teoremas del seno y del coseno.

Dependiendo de los elementos que conozcamos, nos encontramos con cuatro tipos de resolución de triángulos oblicuángulos:

1º. Conociendo un lado y dos ángulos adyacentes a él

De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los restantes elementos.

2º. Conociendo dos lados y el ángulo comprendido

De un triángulo sabemos que: a = 10 m, b = 7 m y C = 30°. Calcula los restantes elementos.

3º Conociendo dos lados y un ángulo opuesto

sen B > 1. No hay solución

sen B = 1 Triángulo rectángulo

sen B < 1. Una o dos soluciones

Supongamos que tenemos a, b y A; al aplicar el teorema de los senos puede suceder:

1. sen B > 1. No hay solución.

Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 8 m.

Como el seno de un ángulo nunca puede ser mayor que 1, el problema no tiene solución. La figura muestra la imposibilidad de que exista el triángulo planteado.